On introduit une algèbre de germes de fonctions, dite algèbre quasi- régulière d'Hilbert: ces éléments sont quasi-analytiques et possèdent une structure asymptotique de "type Hilbert". Cette algèbre contient les compositions des déploiements analytiques d'applications de Dulac pour les singularités heyperboliques de champs de vecteurs du plan. L'étude de la cyclicité des polycycles hyperboliques du plan se ramène a l'étude de l'action sur cette algèbre d'une certaine classe de dérivations dites "Dérivations d'Hilbert". La désingularisation de telles dérivations (dans l'algèbre quasi-régulière d'Hilbert!!) fournit des dérivations irréductibles qui sont hyperboliques, linéaires et diagonales. Les théorèmes de finitude exposés sont relatifs a ces dérivations irréductibles. Une première application globale de ces résultats, dans le cadre du 16eme problème d'Hilbert est la suivante: la cyclicité d'un cycle singulier d'un champ Hamiltonien du plan, ne dépend que du degré de l'Hamiltonien et de "la multiplicité algébrique" de l'intégrale abélienne associée, ce qui constitue la généralisation naturelle du théorème de Khovanski- Varchenko.

Jean-Philippe Rolin, Patrick Speissegger